Question

（07年浙江卷文）已知點O在二面角α－AB－β的棱上，點P在α內，且∠POB＝45°．若對于β內異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α－AB－β的取值范圍是_________．

Answer 1

答案：

解析：若二面角α－AB－β的大小為銳角，則過點P向平面作垂線,設垂足為H.

過H作AB的垂線交于C,連PC、CH、OH，則就是所求二面角的平面角.

根據題意得，由于對于β內異于O的任意一點Q，都有

∠POQ≥45°，∴，設PO=，則

又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，而在中應有

PC>PH ,∴顯然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能為銳角。

即二面角的范圍是。

若二面角α－AB－β的大小為直角或鈍角，則由于∠POB＝45°，結合圖形容易判斷對于β內異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°。

即二面角的范圍是。

【高考考點】二面角的求法及簡單的推理判斷能力

【易錯點】：畫不出相應的圖形，從而亂判斷。

【備考提示】：無論解析幾何還是立體幾何，借助于圖形是我們解決問題的一個重要的方法，它可以將問題直觀化，從而有助于問題的解決。