Question

已知函數f（x）=。
（1）設a>0，討論y=f（x）的單調性；
（2）若對任意x∈（0，1）恒有f（x）>1，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）f（x）的定義域為（-∞，1）∪（1，+∞）
對f（x）求導數得
（i）當a=2時

f'（x）在（-∞，0），（0，1）和（1，+∞）上均大于0，
所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上為增函數；
（ii）當0＜a＜2時，f'（x）>0，f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上為增函數；
（iii）當a>2時，
令f'（x）=0，解得

當x變化時，f'（x）和f（x）的變化情況如下表：

f（x）在內為增函數
f（x）在內為減函數。
（2）（i）當0＜a≤2時，由（1）知：對任意x∈（0，1）恒有f（x）>f（0）=1
（ii）當a>2時，取，則由（1）知f（x₀）＜f（0）=1
（iii）當a≤0時，對任意x∈（0，1），恒有且e^-ax≥1
得
綜上當且僅當a∈（-∞，2]時，對任意x∈（0，1）恒有f（x）>1。