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三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AA1=4，
（1）求異面直線AB與B1C所成角的余弦值；
（2）求證：面ACB1⊥面ABC1．
（1）連接A1C，∵A1B1∥AB，∴∠A1B1C即為AB與B1C所成角或其補角，
在Rt△CBB1中，CB1=
BC2+BB12
=
42+42
=4
2
，在Rt△A1AC中，A1C=
A1A2+AC2
=
42+32
=5，
在Rt△ACB中，AB=
AC2+CB2
=
32+42
=5，
在△A1B1C中，由余弦定理得，cos∠A1B1C=
A1B12+CB12-A1C2
2×A1B1×CB1
=
52+(4
2
)2-52
2×5×4
2
=
2
2
5
，
故異面直線AB與B1C所成角的余弦值為
2
2
5
．
（2）證明：分別以
CA
，
CB
，
CC1
的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0），C1（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），
CB1
=（0，4，4），
CA
=（3，0，0），
AC1
=（-3，0，4），
AB
=（-3，4，0），
設
n1
=（x，y，z）為平面ACB1的一個法向量，則
n1
•
CB1
=0
n1
•
CA
=0
，即
4y+4z=0
3x=0
，取
n1
=（0，1，-1），
設
n2
=（x，y，z）為平面ABC1的一個法向量，則
n2
•
AC1
=0
n2
•
AB
=0
，即
-3x+4z=0
-3x+4y=0
，取
n2
=（4，3，3），
因為
n1
•
n2
=（0，1，-1）•（4，3，3）=0×4+1×3+（-1）×3=0，
所以
n1
⊥
n2
，
故面ACB1⊥面ABC1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題



如圖，長方體中，
為的中點
（1）求點到面的距離；
（2）設的重心為，問是否存在實數，使
得且同時成立？若存
在，求出的值；若不存在，說明理由。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=a，E，F分別是BC，DC的中點．求異面直線AD1與EF所成角的大�。�

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC與B1D所成的角為（　�。�
A．
π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
π
2

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若直線m與平面α所成角為
π
3
，直線n?α，則直線m，n所成角的取值范圍是（　�。�
A．(0，
π
2
)		B．[
π
6
，
π
2
]		C．[
π
3
，
π
2
]		D．[
π
6
，
π
3
]

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，點P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，則PA與BD所成角的度數為（　　）
A．30°B．45°C．60°D．90°

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′中，直線D′A與DB所成的角可以表示為（　　）
A．∠D′DBB．∠AD′C′C．∠ADBD．∠DBC′

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點．
（1）若AB=BC=CD=AD=AC=BD=2a，求EF的長；
（2）若AD=BC=2a，EF=
3
a，求異面直線AD與BC所成的角的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為棱A1B1和BB1的中點，那么異面直線AM和CN所成角的余弦值是（　�。�
A．
3
2
B．
10
2
C．
2
5
D．-
2
5

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