Question

已知實系數方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的兩根分別為一個橢圓和一個雙曲線的離心率，則

b

a

的取值范圍是（　　）

• A、（-2，-1）
• B、(-1，-

  1

  2

  )
• C、(-2，-

  1

  2

  )
• D、（-2，+∞）

Answer 1

分析：實系數方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的兩個根x₁，x₂分別作為橢圓和雙曲線的離心率，根據判別式大于0，令a為橫軸，b為縱軸，建立平面直角坐標系，作出這三個不等式所對應的平面區域S，設P（a，b）是平面區域S內的任意一點，A（-1，1），則可知

b

a

的幾何意義是直線的斜率，進而可求得范圍．

解答：解：f（x）=x²+（a+1）x+（a+b+1）
依題意f（x）=0的兩個根x₁，x₂分別作為橢圓和雙曲線的離心率
故 0＜x₁＜1＜x₂
根據一元二次方程根的分布，可得關于實系數a，b的約束條件：
判別式=（a+1）²-4（a+b+1）=（a-1）²-4b-4＞0
f（0）=a+b+1＞0，f（1）=2a+b+3＜0
令a為橫軸，b為縱軸，建立平面直角坐標系，作出這三個不等式所對應的平面區域S，
設P（a，b）是平面區域S內的任意一點，A（-1，1），k=

b

a

則k的幾何意義是直線PA的斜率．
作圖，得-2＜k＜-

1

2

故選C

點評：本題主要考查了圓錐曲線的綜合知識．涉及到了函數的根的分布，多項式恒等等知識．屬中檔題．