Question

（12分）

已知x=1是函數f(x)=mx³-3(m+1)x²+nx+1的一個極值點，其中m,n∈R.

（1）求m與n的關系式；

（2）求f(x)的單調區間；

（3）當x∈[-1,1]時，m<0，函數y=f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當時，在單調遞減，在單調遞增，在上單調遞減.

當m>0時，f(x)在(1+)及(-，1)上單調遞增；在(1，1+)上單調遞減 .

（3）的取值范圍為

【解析】近幾年新課標高考對于函數與導數這一綜合問題的命制，一般以有理函數與半超越（指數、對數）函數的組合復合且含有參量的函數為背景載體，解題時要注意對數式對函數定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數單調性、導數運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數學思想（分類與整合、數與形的結合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運用.把數學運算的“力量”與數學思維的“技巧”完美結合

解：(I)因為是函數的一個極值點,所以,即，所以

（II）當m=0時，上為增函數，在(6，+)上為減函數

當m≠0時，=

當時，有，當變化時，與的變化如下表：

				1
		0		0
	調調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

故由上表知，當時，在單調遞減，在單調遞增，在上單調遞減.

當m>0時，f(x)在(1+)及(-，1)上單調遞增；在(1，1+)上單調遞減 .

（III）由已知得，即

又所以即①

設，其函數開口向上，由題意知①式恒成立，

所以解之得又所以

即的取值范圍為