Question

已知數列{a_n}滿足a₁=

2

5

，且對任意n∈N^*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

．
（Ⅰ）求證：數列{

1

an

}為等差數列；
（Ⅱ）試問數列{a_n}中a_k-a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的項？如果是，請指出是數列的第幾項；如果不是，請說明理由．
（Ⅲ）令bn=

2

3

(

1

an

+5)，證明：對任意n∈N*，都有不等式2bn＞bn2成立．

Answer 1

（Ⅰ）∵

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

∴a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，
即2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，
所以

1

an+1

-

1

an

=

3

2

所以數列{

1

an

}是以

5

2

為首項，公差為

3

2

的等差數列．                    
（II）由（Ⅰ）可得數列{

1

an

}的通項公式為

1

an

=

3n+2

2

，所以an=

2

3n+2

∴ak-ak+1=

2

3k+2

-

2

3(k+1)+2

=

4

9k2+21k+10

=

2

3• 3k2+7k+2 2 +2

．             
因為

3k2+7k+2

2

=k2 +3k+1+

k(k+1)

2

當k∈N^*時，

k(k+1)

2

一定是正整數，所以

3k2+7k+2

2

是正整數．
所以a_k-a_k+1是數列{a_n}中的項，是第

3k2+7k+2

2

項．                 
（Ⅲ）證明：由（II）知：an=

2

3n+2

，bn=

2

3

(

1

an

+5)=

2

3

(

3n+2

2

+5)=n+4．
下面用數學歸納法證明：2ⁿ⁺⁴＞（n+4）²對任意n∈N*都成立．
（1）當n=1時，顯然2⁵＞5²，不等式成立．
（2）假設當n=k（k∈N^*）時，有2^k+4＞（k+4）²，
當n=k+1時，2^（k+1）+4=2•2^k+4＞2（k+4）²=2k²+16k+32=（k+5）²+k²+6k+7＞（k+5）²
即有：2bn+1＞bn+12也成立．
綜合（i）（ii）知：對任意n∈N^*，都有不等式2bn＞bn2成立．