Question

已知過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線(xiàn)分別與x軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)．求：
（1）y軸上的截距是x軸上的截距的兩倍時(shí)直線(xiàn)的方程；
（2）|PA|•|PB|取最小值時(shí)直線(xiàn)的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)所求直線(xiàn)的方程為

x a + y 2a =1

，代入點(diǎn)P的坐標(biāo)可解得a的值，可得方程；（2）設(shè)所求直線(xiàn)的方程為y-2=k（x-1），由題意知k＜0，分別令x=0，y=0可得A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得|PA|²•|PB|²的表達(dá)式，由基本不等式可得．

解答：解：（1）設(shè)所求直線(xiàn)的方程為

x a + y 2a =1

，
即2x+y-2a=0，
∵直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（1，2），
∴2×1+2-2a=0，
解得a=2，
∴所求直線(xiàn)的方程為2x+y-4=0
（2）設(shè)所求直線(xiàn)的方程為y-2=k（x-1），由題意知k＜0，
令x=0可得y=2-k，令y=0可得x=1-

2

k

，
即A（1-

2

k

，0），B（0，2-k）
∴|PA|²•|PB|²=[(-

2

k

)2+4][1+（-k）²]
=8+4k2+

4

k2

≥8+2

4k2• 4 k2

=16
當(dāng)且僅當(dāng)4k2=

4

k2

，即k=-1時(shí)取等號(hào)，
∴|PA|•|PB|取最小值4時(shí)，直線(xiàn)的方程為x+y-3=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)的截距式方程，涉及基本不等式的應(yīng)用．