Question

已知平面內兩點M，N，點M（2+5cosθ，5sinθ），|

MN

|=1，過N作圓C：（x-2）²+y²=4的兩條切線NE，NF，切點分別為E，F，則

NE

•

NF

的最小值為

6

．

Answer 1

分析：有點M的坐標可知點M在以（2，0）為圓心，半徑為5的大圓上，給出的圓C和點M的軌跡是同心圓，由|

MN

|=1可知N的軌跡是圓心在M的軌跡上，半徑為1的圓，畫出圖形后，利用對稱性取N的軌跡與x軸的左交點，分析得到N取該點時能使

NE

•

NF

的值最小．

解答：解：設M（x，y），由M（2+5cosθ，5sinθ），所以

x=2+5cosθ y=5sinθ

，
整理得：（x-2）²+y²=25．故點M在一個圓心為（2，0），半徑為5的大圓上，這個大圓與圓C：（x-2）²+y²=4是同心圓．
又點N滿足|

MN

|=1，所以點N的軌跡為（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1．
基于對稱性，我們取一個較為方便的位置進行研究．如圖，
取θ=0，此時圓N的圓心為（7，0），于是N點在（x-7）²+y²=1的小圓上，這個小圓與x軸有兩個交點，左邊的交點N₁（6，0）；右邊的交點N₂（8，0）．因為N₁離圓C最近，因此切線最短，兩條切線的夾角α最大，且α是銳角，cosα是減函數，因此由N₁作出的兩條切線向量的模最小，cosα的值最小，故數量積

N1E

•

N1F

必是最小．
在RT△CEN₁中，CN₁=4，CE=2，故|

N1E

|=|

N1F

|=

42-22

=2

3

，cos

α

2

=

2 3

4

=

3

2

，
cosα=2cos2

α

2

-1=2×(

3

2

)2-1=

1

2

．
∴

NE

•

NF

的最小值為|

N1E

||

N1F

|cosα=2

3

×2

3

×

1

2

=6．
故答案為6．

點評：本題考查了平面向量數量積的運算，考查了圓的參數方程，體現了數形結合的解題思想，解答此題的關鍵是讀懂題目意思，屬中檔題．