Question

（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，，且分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）設(shè)，求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析，（2）詳見(jiàn)解析，（3）

試題分析：（1）證明線(xiàn)面平行，關(guān)鍵在于找出線(xiàn)線(xiàn)平行.顯然DE與三角形ABC三條邊都不平行，因此需作輔助線(xiàn).因?yàn)镈,E都是中點(diǎn)，所以取中點(diǎn)，連接，可證得四邊形是平行四邊形.因而有，再根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理就可證得.（2）要證明平面，需證明及，前面在平面中證明，利用勾股定理，即通過(guò)計(jì)算設(shè)，則.∴，∴.后者通過(guò)線(xiàn)面垂直與線(xiàn)線(xiàn)垂直的轉(zhuǎn)化得，即由面面，得面，再得.（3）求三棱錐的體積關(guān)鍵在于求高.由（2）得平面，所以三棱錐的高為的一半，因此三棱錐的體積為.
試題解析：（1）取中點(diǎn)，連接，
∵，∴.
∴四邊形是平行四邊形.
∴，又∵，
∴平面.                 4分
（2）∵是等腰直角三角形斜邊的中點(diǎn)，∴.
又∵三棱柱是直三棱柱，∴面面.
∴面，∴.
設(shè)，則.
∴. ∴.
又，∴平面.                 8分

（3）∵點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面距離的.
而，∴三棱錐的高為；在中，，所以三棱錐的底面面積為，故三棱錐的體積為.             12分