Question

(本小題滿分12分)已知函數.（）
（1）若函數有三個零點，且，，求函數 的單調區間；
（2）若，，試問：導函數在區間(0，2)內是否有零點，并說明理由.
（3）在（Ⅱ）的條件下，若導函數的兩個零點之間的距離不小于，求的取值范圍.

Answer 1

（1）當時，的單調遞減區間是（1，4），單調遞增區間是 。當時，的單調遞增區間是（1，4），單調遞減區間是（4分）（2）導函數在區間(0，2)內至少有一個零點.（3）.

試題分析：（1）因為，又，  
則  ………   （1分）
因為x₁，x₃是方程的兩根，則
，，.即      …… （2分）
從而：，
所以. 
令   解得： … ………          （3分）
當時，的單調遞減區間是（1，4），單調遞增區間是 。
當時，的單調遞增區間是（1，4），單調遞減區間是（4分）
（2）因為，，所以，
即.
因為，所以，即.       （5分）
于是，，.
①當時，因為，
則在區間內至少有一個零點.        （6分）
②當時，因為，
則在區間（1，2）內至少有一零點.
故導函數在區間(0，2)內至少有一個零點.          （8分）
（3）設m，n是導函數的兩個零點，則，.
所以.
由已知，，則，即.
所以，即或.               （10分）
又，，所以，即.
因為，所以. 
綜上分析，的取值范圍是.                          （12分）
點評：可導函數的極值點都是導數等于零的點，求出結果要帶回去檢驗，求函數的單調區間都是轉化為導數與０的大小關系進行確定，導數大于０，原函數遞增，導函數小于０，則原函數遞減，特別是函數含字母時，要注意字母對解不等式的影響，有時需要分類討論