Question

已知在（1-2x）ⁿ的展開式中，各項的二項式系數之和是64，則（1-2x）ⁿ（1-x）的展開式中，x⁴項的系數是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，（1-2x）ⁿ的展開式中，各項的二項式系數之和是64，則2ⁿ=64，解可得n=6；進而分析（1-2x）⁶（1-x）的展開式中x⁴項的系數，由兩種情況可以得到，即（1-2x）⁶中x的系數為4，在（1-x）中取1；或（1-2x）⁶中x的系數為3，在（1-x）中取（-x）；分別計算其數目，相加可得答案．
解答：解：根據題意，（1-2x）ⁿ的展開式中，各項的二項式系數之和是64，
則2ⁿ=64，解可得n=6；
則（1-2x）⁶（1-x）的展開式中，
x⁴項由兩種情況得到，（1-2x）⁶中x的系數為4，在（1-x）中取1；或（1-2x）⁶中x的系數為3，在（1-x）中取（-x）；
則x⁴項的系數1×C₆⁴×（-2）⁴+（-1）×C₆³×（-2）³=400；
故答案為400．
點評：本題考查二項式定理的應用，注意系數與二項式系數的區別．