Question

（2013•閘北區一模）假設你已經學習過指數函數的基本性質和反函數的概念，但還沒有學習過對數的相關概念．由指數函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在實數集R上是單調函數，可知指數函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）存在反函數y=f^-1（x），x∈（0，+∞）．請你依據上述假設和已知，在不涉及對數的定義和表達形式的前提下，證明下列命題：
（1）對于任意的正實數x₁，x₂，都有f^-1（x₁x₂）=f-1(x1)+f-1(x2)；
（2）函數y=f^-1（x）是單調函數．

Answer 1

分析：（1）利用指數函數的性質和反函數的定義即可證明；
（2）對底數a分a＞1與0＜a＜1討論，利用指數函數的單調性即可證明．

解答：證明：（1）設y1=f-1(x1)，y2=f-1(x2)，
由題意，有x1=ay1，x2=ay2，
∴x1x2=ay1•ay2=ay1+y2，
∴y1+y2=f-1(x1x2)，即f^-1（x₁x₂）=f^-1（x₁）+f^-1（x₂）．         
（2）當a＞1時，y=f^-1（x）是增函數．
證明：設x₁＞x₂＞0，即ay1＞a y2＞0，
又由指數函數y=a^x（a＞1）是增函數，得y₁＞y₂，即f-1(x1)＞f-1(x2)．                                       
∴當a＞1時，y=f^-1（x）是增函數．                              
同理，當0＜a＜1時，y=log_ax是減函數．

點評：熟練掌握指數函數的單調性和反函數的定義是解題的關鍵．