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已知a為實數，x=1是函數的一個極值點。

(Ⅰ)若函數在區間上單調遞減，求實數m的取值范圍；

(Ⅱ)設函數，對于任意和，有不等式

恒成立，求實數的取值范圍.

 

【答案】

(Ⅰ) ； (Ⅱ) 或

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由于x=1是函數的極值點，所以可以求出.即通過求導可以知道函數的單調遞減區間（1,5）.又由于函數在區間上單調遞減.所以區間 是區間（1,5）的子區間.即可得m的取值范圍.

(Ⅱ)由不等式

恒成立.所以要先求出的最大值.即函數f(x)最大值與最小值相減的絕對值.另外的求出g(x)的最小值再解不等式.即可求得結論.本題的綜合性較強，要理解清楚題意才能完整解答.

試題解析：.(Ⅰ) .首先x>0.得.令.即f(x)的單調遞減區間是（1,5）.因為f(x)在區間(2m-1,m+1)上單調遞減.所以(2m-1,m+1) (1,5).所以.

(Ⅱ)由(1). .列表如下：

則..所以.所以恒成立等價于恒成立.因為.當且僅當時取等號.所以.所以.所以或.

考點：1.函數求導.2.不等式恒成立的問題.3.單調性問題.4.絕對值的處理.

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•龍巖二模）已知a為實數，x=1是函數f(x)=
1
2
x2-6x+alnx的一個極值點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（2m-1，m+1）上單調遞減，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）設函數g(x)=x+
1
x
，對于任意x≠0和x1，x2∈[1，5]，有不等式|λg（x）|-5ln5≥|f（x1）-f（x2）|恒成立，求實數λ的取值范圍．

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（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（2m-1，m+1）上單調遞減，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）設函數，對于任意x≠0和x1，x2∈[1，5]，有不等式|λg（x）|-5ln5≥|f（x1）-f（x2）|恒成立，求實數λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2012年陜西省西安市雁塔區高新一中高三第十一次大練習數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知a為實數，x=1是函數的一個極值點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（2m-1，m+1）上單調遞減，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）設函數，對于任意x≠0和x1，x2∈[1，5]，有不等式|λg（x）|-5ln5≥|f（x1）-f（x2）|恒成立，求實數λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2010年福建省龍巖市高考數學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知a為實數，x=1是函數的一個極值點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（2m-1，m+1）上單調遞減，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）設函數，對于任意x≠0和x1，x2∈[1，5]，有不等式|λg（x）|-5ln5≥|f（x1）-f（x2）|恒成立，求實數λ的取值范圍．

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