Question

已知命題P：函數y=loga

x+2

x-1

在（1，+∞）內單調遞增；命題Q：不等式（a-3）x²+（2a-6）x-5＜0對任意實數x恒成立，
若P∨Q是真命題，P∧Q是假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題P，Q為真命題時，a的范圍，將已知條件P∨Q是真命題，P∧Q是假命題轉化為P，Q有一個真命題一個假命題，分p真Q假與Q真P假兩類求出a的范圍．

解答：解∵命題P為真命題，即
函數y=loga

x+2

x-1

在定義域上單調遞增；
∴0＜a＜（5分）
若命題Q為真命題，
不等式（a-3）x²+（2a-6）x-5＜0對任意實數x恒成立；
當a-3=0時，不等式為-5＜0滿足題意，
當a≠0時，令a-3＜0且△=（2a-6）²+20（a-3）＜0
解得-2＜a≤3（10分）
∵P∨Q是真命題且P∧Q是假命題，
∴P，Q有一個真命題一個假命題，
當p真Q假時，有

0＜a＜1 a≤-2或a＞3

無解
當Q真P假時，有

a≤0或a≥1 -2＜a≤3

解得-2＜a≤0或1≤a≤3． 
∴a的取值范圍是-2＜a≤0或1≤a≤3．                            （14分）

點評：解決復合命題的真假問題，應該根據真值表轉化為構成復合命題的簡單命題的真假問題來解決．