Question

已知函數f（x）=ax²+4x+b（a＜0），設關于x的方程f（x）=0的兩實數根為x₁，x₂，f（x）=x的兩實根為α，β，且|α-β|=1．
（1）若a，b均為負整數，求f（x）解析式；
（2）若α＜1＜β，求（x₁+a）（x₂+a）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）=x的兩實根為α、β，可列出方程用a，b表示兩根α，β，根據|α-β|=1，可求出a、b滿足的關系式．
根據a、b均為負整數，從而求出f（x）解析式．
（2）因為關于x的方程f（x）=0的兩根為x₁，x₂，用a和b表示出（x₁+a）（x₂+a），討論a，b的關系可得（x₁+a）（x₂+a）的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x，
∴ax²+4x+b=x，由題意知，

α+β=- 3 a   αβ= b a   |α-β|=1

∴a²+4ab-9=0；
∵a、b均為負整數，a²+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x²+4x-2
（2）令g（x）=ax²+3x+b，
由于關于x的方程f（x）=0的兩實數根為x₁，x₂，則

x1+x2=- 4 a x1x2= b a

所以（x₁+a）（x₂+a）=x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=

b

a

+a2-4 
=

9-a2

4a2

+a2-4=

9

4a2

+a2-

17

4

由α＜1＜β，且|α-β|=1得，0＜α＜1＜β＜2，
所以

g(0)＜0   g(1)＞0   g(2)＜0   a＜0   4ab=9-a2

解得-3＜a＜-1，即1＜a²＜9，
由函數y（t）=

9

4t

+t在（0，

3

2

）上單調遞減，在(

3

2

，+∞)單調遞增，
而t=a²∈（1，9），則y（t）∈[3，

37

4

），故所求取值范圍為[-

5

4

，5）

點評：本題考查二次函數的綜合運用，考查了確定函數式，方程與函數的關系，以及求一元二次方程的求根公式的應用．