Question

已知函數y=lg（ax²-2x+2）．
（1）若函數y=lg（ax²-2x+2）的值域為R，求實數a的取值范圍；
（2）若方程lg（ax²-2x+2）=1在[

1

2

，2]內有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）此函數的值域為R，等價于真數ax²-2x+2能取遍一切正實數，由a=0時，顯然成立，a≠0時，利用二次函數的圖象性質得關于a的不等式，即可解得a的范圍；
（2）將對數方程有解問題轉化為二次方程有解問題，進而參變分離，轉化為求函數在[

1

2

，2]內值域問題，最后利用換元法求二次函數值域即可

解答：解：（1）∵函數y=lg（ax²-2x+2）的值域為R
∴y=ax²-2x+2能取遍一切正實數
∴a=0或

a＞0 △=4-8a≥0

∴0≤a≤

1

2

（2）∵方程lg（ax²-2x+2）=1在[

1

2

，2]內有解，
即 ax²-2x+2=10 在[

1

2

，2]內有解，
即a=

2x+8

x2

=

2

x

+

8

x2

 在[

1

2

，2]內有解，
設t=

1

x

，則t∈[

1

2

，2]，a=2t+8t²=8（t+

1

8

）²-

1

8

∴當t=

1

2

時，a取最小值3，當t=2時，a取最大值36
∴a∈[3，36]

點評：本題主要考查了對數復合函數的性質和應用，二次函數的圖象和性質，二次函數的值域的求法，轉化化歸的思想方法