Question

（2012•姜堰市模擬）若函數f（x）=x|x-2m|（m＞0）在區間[0，1]上的最大值為m²，則正實數m的取值范圍為

[

2

-1，1]

．

Answer 1

分析：將函數化簡成分段函數的形式，再討論它的單調性，可得函數在區間[0，1]上的最大值可能是f（m）或f（1），由此結合題意建立關于m的不等式組，解之可得正實數m的取值范圍．

解答：解：函數f（x）=x|x-2m|=

x2-2mx   x＞2m 2mx-x 2    x≤2m

當0≤x≤2m時，函數f（x）圖象對應開口向下的拋物線，最大值為f（m）=m²
當x＞2m時，函數f（x）圖象對應開口向上的拋物線，在區間（2m，+∞）上是增函數
∴當x∈[0，1]時，函數的最大值為m²，
說明

m≤1 f(1)≤m2

，即

m≤1 |1-2m|≤m2

，解之得

2

-1≤m≤1
故答案為：[

2

-1，1]

點評：本題給出含有絕對值的函數，討論了函數的最大值，著重考查了分段函數的單調性和二次函數在閉區間上的最值的知識，屬于中檔題．