Question

設函數f(x)＝(1＋x)²－2ln (1＋x)．
(1)求函數f(x)的單調區間；
(2)若關于x的方程f(x)＝x²＋x＋a在[0,2]上恰有兩個相異實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）f(x)的遞增區間是(0，＋∞)，遞減區間是(－1,0)．
（2）(2－2ln 2,3－2ln 3]．

試題分析：解　(1)函數的定義域為(－1，＋∞)，
因為f(x)＝(1＋x)²－2ln(1＋x)，
所以f′(x)＝2＝，
由f′(x)＞0，得x＞0；由f′(x)＜0，得－1＜x＜0，
所以，f(x)的遞增區間是(0，＋∞)，遞減區間是(－1,0)．
(2)方程f(x)＝x²＋x＋a，即x－a＋1－2ln(1＋x)＝0，
記g(x)＝x－a＋1－2ln(1＋x)(x＞－1)，
則g′(x)＝1－＝，
由g′(x)＞0，得x＞1；
由g′(x)＜0，得－1＜x＜1.
所以g(x)在[0,1]上單調遞減，在[1,2]上單調遞增．
為使f(x)＝x²＋x＋a在[0,2]上恰有兩個相異的實根，
只須g(x)＝0在[0,1)和(1,2]上各有一個實根，
于是有即
解得2－2ln 2＜a≤3－2ln 3，
故實數a的取值范圍是(2－2ln 2,3－2ln 3]．
點評：解決的關鍵是根據導數判定函數單調性，以及函數的零點問題，屬于中檔題。