Question

（2011•大連二模）已知x，y滿足線性約束條件：

x-2y+3≥0 2x+y-9≤0 2x+6y-9≥0

，若目標函數z=-x+my取最大值的最優解有無數個，則m=

2或-3

．

Answer 1

分析：將目標函數z=-x+my化成斜截式方程后得：y=

1

m

x+

1

m

z，由于m的符號可為正或負，所以目標函數值z是直線y=

1

m

x+

1

m

z的截距，當直線y=

1

m

x+

1

m

z的斜率與直線AC或AB的斜率相等時，目標函數y=

1

m

x+

1

m

z取得最大值的最優解有無數多個，由此不難得到m的值．

解答：解：做出不等式組所表示的平面區域，如圖所示的陰影部分的三角形ABC
∵目標函數z=-x+my
∴y=

1

m

x+

1

m

z
故目標函數值Z是直線族y=

1

m

x+

1

m

z的截距的m倍
當直線族y=

1

m

x+

1

m

z的斜率與直線AC或AB的斜率相等時，
目標函數y=

1

m

x+

1

m

z取得最大值的最優解有無數多個
此時，

1

m

=

1

2

或

1

m

=-

1

3

即m=2或-3．
故答案為：2或-3

點評：目標函數的最優解有無數多個，處理方法一般是：①將目標函數的解析式進行變形，化成斜截式②分析Z與截距的關系，是符號相同，還是相反③根據分析結果，結合圖形做出結論④根據斜率相等求出參數．