Question

（本題滿分12分）

已知函數其中a>0，e為自然對數的底數。

（I）求

（II）求的單調區間；

（III）求函數在區間[0，1]上的最大值。

 

Answer 1

【答案】

（I）f’(x)=2xe^ax+ax²e^ax=(2x+ax²)e^ax.

（II）函數f（x）在區間（-∞,-）內為增函數，在區間（-，0）內為減函數，

在區間（0，+∞）內為增函數.

（III）f（x）在[0，1]上的最大值為f（1）=e^a.

【解析】解：（I）f’(x)=2xe^ax+ax²e^ax=(2x+ax²)e^ax. ………………………………………3分

(II)∵a>0,e^ax>0

當2x+ax²>0時，得x<-…………………………………………6分

當2x+ax²<0時，得…………………………………………………9分

所以，函數f（x）在區間（-∞,-）內為增函數，在區間（-，0）內為減函數，

在區間（0，+∞）內為增函數.………………11分

（III）函數f（x）在區間[0，+∞）內為增函數，

∴f（x）在[0，1]上的最大值為f（1）=e^a.…………………………………12分