Question

（2009•荊州模擬）數列{x_n}滿足x₁=

1

3

，且n≥2時，x_n=

xn-1

2-xn-1

，若對任意n∈N^*，都有|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|＜a成立，則實數a的取值范圍是

[

1

3

，+∞)

．

Answer 1

分析：當n≥2時，xn=

xn-1

2-xn-1

，兩邊取倒數得

1

xn

=

2

xn-1

-1，變形為

1

xn

-1=2(

1

xn-1

-1)，利用等比數列的通項公式即可得出x_n．由對任意n∈N^*，
都有|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|＜a成立，?（|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|）_max＜a成立，通過去掉絕對值符號即可得出．

解答：解：當n≥2時，xn=

xn-1

2-xn-1

，兩邊取倒數得

1

xn

=

2

xn-1

-1，變形為

1

xn

-1=2(

1

xn-1

-1)，
∴數列{

1

xn

-1}是以

1

x1

-1=

1

1 3

-1=3-1=2為首項，2為公比的等比數列．
∴

1

xn

-1=2ⁿ，解得xn=

1

2n+1

．可得x_n＞x_n+1．
由對任意n∈N^*，都有|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|＜a成立，?（|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|）_max＜a成立，
而|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|=（x₁-x₂）+（x₂-x₃）+…+（x_n-x_n+1）=x₁-x_n+1=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

．
∴a≥

1

3

．
故實數a的取值范圍是[

1

3

，+∞)．
故答案為[

1

3

，+∞)．

點評：本題綜合考查了通過“取倒數法”把數列轉化為等比數列解決、含絕對值符號的恒成立問題轉化為求其最值問題等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．