Question

規定=，其中x∈R，m是正整數，且，這是組合數（n、m是正整數，且m≤n）的一種推廣.

（1）求的值.

（2）設x＞0，當x為何值時，取最小值？

（3）我們知道組合數具有如下兩個性質：

①=；②+=.

是否都能推廣到（x∈R，m是正整數）的情形？若能推廣，請寫出推廣的形式，并給出證明；若不能，則說明理由.

（4）已知組合數是正整數，證明當x∈Z，m是正整數時，∈Z.

 

Answer 1

思路解析：本題是有關組合數知識的延伸，著重考查考生接受新知識的能力.在解決過程中，要注意充分利用題目中的C^m_x的定義以及結合所學的相關知識，從而將問題解決.

解：（1）==-680.

（2）==(x+-3)，

∵x＞0，x+≥2，當且僅當x=時，等號成立.∴當x=時，取得最小值.

（3）性質①不能推廣.例如當x=時，有意義，但無意義；性質②能推廣，它的推廣形式是+=，x∈R，m是正整數，事實上

    當m=1時，有+=x+1=，當m≥2時，

C^m_x+C^m-1_x=+=

(+1)== ，

（4）證明：當x≥m時，組合數∈Z.

    當0≤x＜m時，=0∈Z，當x＜0時，∵-x+m+1＞0，

∴==(-1)^m，∈Z.