Question

已知函數f(x)=

ax+b

x2+1

在點M(1，f(1))處的切線方程為x-y-1=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設函數g（x）=lnx，證明：g（x）≥f（x）對x∈[1，+∞）恒成立．

Answer 1

（Ⅰ）將x=1代入切線方程x-y-1=0，得y=0，∴f（1）=0．
又f(1)=

a+b

2

，化簡得a+b=0．
f′(x)=

a(x2+1)-(ax+b)•2x

(1+x2)2

，f′(1)=

2a-2(a+b)

4

=

-2b

4

=

-b

2

=1．
解得a=2，b=-2，
∴f(x)=

2x-2

x2+1

．
（Ⅱ）證明：要證lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立，
即證（x²+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立，
即證x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．
設h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，則h′(x)=2xlnx+x+

1

x

-2．
∵x≥1，∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，即h'（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上x∈[1，+∞）單調遞增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在上恒成立．