Question

（2010•陜西一模）已知函數f(x)=

3

sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數，且函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用輔助角公式可將f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）轉化為f（x）=2sin（ωx+φ-

π

6

），為偶函數，⇒φ=kπ+

2π

3

，0＜φ＜π，可確定φ的值；又y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

，從而求得ω；
（Ⅱ）f（x）=2cos2x⇒g（x）=f（x-

π

6

）=2cos（2x-

π

3

），由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π (k∈Z)即可得g（x）的單調遞減區間．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2[

3

2

sin(ωx+φ)-

1

2

cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ-

π

6

)．-------（2分）
因為f（x）為偶函數，
所以ω•0+φ-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，即φ=kπ+

2π

3

(k∈Z)．
又因為0＜φ＜π，故φ=

2π

3

．--------（4分）
所以f(x)=2sin(ωx+

π

2

)=2cosωx．
由題意得

2π

ω

=2×

π

2

，所以ω=2．---------（6分）
（Ⅱ）由知f（x）=2cos2x，
所以g(x)=f(x-

π

6

)=2cos[2(x-

π

6

)]=2cos(2x-

π

3

)．--------（9分）
由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π (k∈Z)，解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π 3

(k∈Z)，
因此g（x）的單調遞減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]

(k∈Z)．----（12分）

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，關鍵是用好輔助角公式，將f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）轉化為f（x）=2sin（ωx+φ-

π

6

），再由其奇偶性與周期確定φ的值，重點考查三角函數的平移變換與單調性，屬于中檔題．