Question

(2006江蘇，19)如下圖，在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=l∶2(如圖1)．將△AEF沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，連結、(如圖2)．

(1)求證：⊥平面BEP；

(2)求直線與平面所成角的大小；

(3)求二面角的大小(用反三角函數值表示)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：不妨設正三角形ABC的邊長為3． (1)在圖1中，取BE的中點D，連結DF． ∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2， 而∠A=60°， ∴△ADF是正三角形．又AE=DE=1， ∴EF⊥AD．在圖2中，， BE⊥EF，∴為二面角的平面角． 由題設條件知此二面角為直二面角， ∴． 又BE∩EF=E，∴⊥平面BEF， 即⊥平面BEP． (2)在圖2中，∵不垂直于， ∴是平面的斜線． 又⊥平面BEP，∴⊥BP， 從而BP垂直于在平面內的射影(三垂線定理的逆定理)． 設在平面內的射影為，且交BP于點Q，則就是與平面所成的角． 且．在△EBP中， ∵BE=BP=2，∠EBP=60°， ∴△EPB是等邊三角形，∴BE=EP． 又⊥平面BEP，∴， ∴Q為BP的中點，且， 又，在Rt△中，，∴．所以直線與平面所成的角為60°． (3)在圖3中，過F作于M，連結QM、QF． ∵CF=CP=1，∠C=60°， ∴△FCP是正三角形，∴PF=1． 又，∴PF=PQ．　　　　　　① ∵⊥平面BEP，， ∴，∴， 從而，　　　　　　　　② 由①②及MP為公共邊知△FMP≌△QMP， ∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ， 從而∠FMQ為二面角的平面角．在Rt中， ，PQ=1，∴． ∵，∴， ∴． 在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得． 在△FMQ中，cos∠FMQ． 所以二面角．