Question

（08年聊城市三模）（12分）   如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點.

   （I）證明：DM∥平面ABC；

   （II）證明：CM⊥DE；

   （III）求平面ADE與平面ABC所成的二面角的大小（只考慮銳角情況）.

 

Answer 1

解析:證明：（I）取AC的中點N，又M為AE中點，則

∵BD//CE，且BD=，

∴四邊形BDMN為平行四邊形，則DM//BN.

平面ABC，∴DM//平面ABC.…………4分

   （II）∵△ABC為正三角形且N為AC中點，

∴BN⊥AC.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.

∴BN⊥平面ACE.∴CM⊥BN.

∵DM∥BN，∴CM⊥DM.

∵CE=CA，且M為AE中點，

∴CM⊥AE.又AE∩MD=M.∴CM⊥平面ADE.

又∵DE平面ADE，∴CM⊥DE.…………8分

   （III）以C為原點，過C且垂直于CB的直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立空間直角坐標系（如圖），設CE=1，則

   

    令                     …………10分

   

    ∴平面ADE與平面ABC所成的銳二面角的大小為45°.       …………12分