Question

已知在直角坐標系中，An(an，0)，Bn(0，bn)(n∈N*)，其中數列{a_n}，{b_n}都是遞增數列．
（1）若a_n=2n+1，b_n=3n+1，判斷直線A₁B₁與A₂B₂是否平行；
（2）若數列{a_n}，{b_n}都是正項等差數列，設四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積為S_n（n∈N^*），求證：{S_n}也是等差數列；
（3）若an=2n，bn=an+b(a，b∈Z)，b1≥-12，記直線A_nB_n的斜率為k_n，數列{k_n}的前8項依次遞減，求滿足條件的數列{b_n}的個數．

Answer 1

分析：（1）確定A₁（3，0），B₁（0，4），A₂（5，0），B₂（0，7），求得斜率，可得A₁B₁與A₂B₂不平行；
（2）因為{a_n}，{b_n}為等差數列，設它們的公差分別為d₁和d₂，則a_n=a₁+（n-1）d₁，b_n=b₁+（n-1）d₂，a_n+1=a₁+nd₁，b_n+1=b₁+nd₂，從而可得Sn=S△OAn+1Bn+1-S△OAnBn=

1

2

(an+1bn+1-anbn)，進而可證明數列{S_n}是等差數列；
（3）求得kn=

bn-0

0-an

=-

bn

an

=-

an+b

2n

，根據數列{k_n}前8項依次遞減，可得an-a+b＜0對1≤n≤7（n∈Z）成立，根據數列{b_n}是遞增數列，故只要n=7時，7a-a+b=6a+b＜0即可，關鍵b₁=a+b≥-12，聯立不等式

6a+b＜0 a+b≥-12 a＞0 a，b∈Z

作出可行域，即可得到結論．

解答：（1）解：由題意A₁（3，0），B₁（0，4），A₂（5，0），B₂（0，7），
所以kA1B1=

4-0

0-3

=-

4

3

，
kA2B2=

7-0

0-5

=-

7

5

，
因為kA1B1≠kA2B2，所以A₁B₁與A₂B₂不平行．
（2）證明：因為{a_n}，{b_n}為等差數列，設它們的公差分別為d₁和d₂，
則a_n=a₁+（n-1）d₁，b_n=b₁+（n-1）d₂，a_n+1=a₁+nd₁，b_n+1=b₁+nd₂
由題意Sn=S△OAn+1Bn+1-S△OAnBn=

1

2

(an+1bn+1-anbn)
所以Sn=

1

2

{(a1+nd1)(b1+nd2)-[a1+(n-1)d1][b₁+（n-1）d₂]}
=

1

2

(2d1d2n+a1d2+b1d1-d1d2)，
所以Sn+1=

1

2

(2d1d2n+a1d2+b1d1+d1d2)，
所以S_n+1-S_n=d₁d₂是與n無關的常數，
所以數列{S_n}是等差數列
（3）解：因為A_n（a_n，0），B_n（0，b_n），
所以kn=

bn-0

0-an

=-

bn

an

=-

an+b

2n

又數列{k_n}前8項依次遞減，
所以kn+1-kn=-

a(n+1)+b

2n+1

+

an+b

2n

=

an-a+b

2n+1

＜0，
對1≤n≤7（n∈Z）成立，
即an-a+b＜0對1≤n≤7（n∈Z）成立．
又數列{b_n}是遞增數列，所以a＞0，故只要n=7時，7a-a+b=6a+b＜0即可．
又b₁=a+b≥-12，聯立不等式

6a+b＜0 a+b≥-12 a＞0 a，b∈Z

作出可行域（如右圖所示），易得a=1或2，
當a=1時，-13≤b＜-6即b=-13，-12，-11，-10，-9，-8，-7，有7個解；
當a=2時，-14≤b＜-12，即b=-14，-13，有2個解，所以數列{b_n}共有9個．

點評：本題考查數列與解析幾何的綜合，考查等差數列的定義，考查線性規劃知識，綜合性強．