Question

已知函數f(x)＝mx＋3，g(x)＝x²＋2x＋m.
(1)求證：函數f(x)－g(x)必有零點；
(2)設函數G(x)＝f(x)－g(x)－1，若|G(x)|在[－1，0]上是減函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）見解析（2）m≤0或m≥2

(1)證明：f(x)－g(x)＝(mx＋3)－(x²＋2x＋m)＝－x²＋(m－2)x＋(3－m)．
由Δ₁＝(m－2)²＋4(3－m)＝m²－8m＋16＝(m－4)²≥0，知函數f(x)－g(x)必有零點．
(2)解：|G(x)|＝|－x²＋(m－2)x＋(2－m)|＝|x²－(m－2)x＋(m－2)|，
Δ₂＝(m－2)²－4(m－2)＝(m－2)(m－6)，
①當Δ₂≤0，即2≤m≤6時，|G(x)|＝x²－(m－2)x＋(m－2)，
若|G(x)|在[－1，0]上是減函數，則≥0，即m≥2，所以2≤m≤6時，符合條件．
②當Δ₂＞0，即m＜2或m＞6時，
若m＜2，則＜0，要使|G(x)|在[－1，0]上是減函數，則≤－1且G(0)≤0，所以m≤0；
若m＞6，則＞2，要使|G(x)|在[－1，0]上是減函數，則G(0)≥0，所以m＞6.
綜上，m≤0或m≥2.