Question

已知函數=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值.

       (1)討論f(1)和f(-1)是函數的極大值還是極小值;

       (2)過點A(0,16)作曲線y=的切線,求此切線方程.

Answer 1

解析:(1) =3ax²+2bx-3,?

       依題意f′(-1)=f′(1)=0,?

       即?

       解得a=1,b=0.?

       所以=x³-3x, =3x²-3=3(x+1)(x-1).?

       令=0,得x=-1,x=1.?

       若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),則>0,?

       故在(-∞,-1)上是增函數, 在(1,+∞)上是增函數.?

       若x∈(-1,1),則<0,故在(-1,1)上是減函數.?

       所以f(-1)=2是極大值,f(1)=-2是極小值.?

       (2)曲線方程為y=x³-3x,點A(0,16)不在曲線上.?

       設切點為M(x₀,y₀),?

       則點M的坐標滿足y₀=x₀³-3x₀.?

       因f′(x₀)=3(x₀²-1),?

       故切線的方程為y-y₀=3(x₀²-1)(x-x₀).?

       注意到點A(0,16)在切線上,?

       有16-(x₀³-3x₀)=3(x₀²-1)(0-x₀),?

       化簡得x₀³=-8,解得x₀=-2,?

       所以切點為M(-2,-2),切線方程為9x-y+16=0.