Question

設f（x）是定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數且在（-∞，0）上為增函數．
（1）若m•n＜0，m+n≤0，求證：f（m）+f（n）≤0；
（2）若f（1）=0，解關于x的不等式f（x²-2x-2）＞0．

Answer 1

分析：（1）根據m•n＜0，m+n≤0可推知m、n一正一負．可設m＞0，n＜0，則可知n≤-m＜0，根據函數為奇函數可推知f（-m）=-f（m），再根據函數在（-∞，0）上為增函數判斷-m和n的大小進而證明結論．
（2）先根據函數的奇偶性求出f（-1）=0，進而根據函數的單調性分別看x²-2x-2＞0和x²-2x-2＜0時f（x²-2x-2）＞0的解集，最后取并集得出答案．

解答：（1）證明∵m•n＜0，m+n≤0，∴m、n一正一負．
不妨設m＞0，n＜0，則n≤-m＜0．取n=-m＜0，
∵函數f（x）在（-∞，0）上為增函數，則f（n）=f（-m）；取n＜-m＜0，同理
f（n）＜f（-m）∴f（n）≤f（-m）．又函數f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上為奇函數，
∴f（-m）=-f（m）．∴f（n）+f（m）≤0．
（2）解∵f（1）=0，f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上為奇函數，∴f（-1）=0，
∴原不等式可化為

x2-2x-2＞0 f(x2-2x-2)＞f(1)

或

x2-2x-2＜0 f(x2-2x-2)＞f(-1)

．
易證：f（x）在（0，+∞）上為增函數．
∴

x2-2x-2＞0 x2-2x-2＞1

或

x2-2x-2＜0 x2-2x-2＞-1

．∴x²-2x-3＞0或

x2- 2x-2＜0 x2-2x-1＞0

．
解得x＞3或x＜-1或

1- 3 ＜x＜1+ 3 x＞1+ 2 或x＜1- 2

．∴不等式的解集為
（-∞，-1）∪（1-

3

，1-

2

）∪（1+

2

，1+

3

）∪（3，+∞）．

點評：本題主要考查函數的單調性和奇偶性的綜合運用．在運用函數的單調性時，要特別注意函數的單調區間．