Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓C：的短軸長為，且斜率為的直線過橢圓C的焦點及點。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知一直線過橢圓C的左焦點，交橢圓于點P、Q，

（ⅰ）若滿足（為坐標(biāo)原點），求的面積；

（ⅱ）若直線與兩坐標(biāo)軸都不垂直，點M在軸上，且使為的一條角平分線，則稱點M為橢圓C的“左特征點”，求橢圓C的左特征點。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓C的方程為；

（Ⅱ）（ⅰ），

（ⅱ）橢圓C的左特征點為．

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用，三角形面積的求解的綜合運用。

（1）由題意可知，直線的方程為，………………………1分

∵直線過橢圓C的焦點，∴該焦點坐標(biāo)為∴,

結(jié)合短軸長，得到a,b,c的值，得到橢圓的方程。

（2）因為，借助于正弦面積公式求解得到結(jié)論。

（3）設(shè)直線PQ的方程為，直線與橢圓聯(lián)立方程組，借助于得到參數(shù)的關(guān)系式，進而得到特征點。

解：（Ⅰ）由題意可知，直線的方程為，………………………1分

∵直線過橢圓C的焦點，∴該焦點坐標(biāo)為∴,

又橢圓C的短軸長為，∴，∴，

∴橢圓C的方程為；…………………………………………………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）∵，

∴，……………5分

∴，……………………………6分

（ⅱ）設(shè)左特征點，左焦點為，可設(shè)直線PQ的方程為，

由消去得，

設(shè)則，…………………8分

∵為的一條角平分線，

∴，即，………………………………………9分

又，，代入上式可得

∴，

解得，……………………………………………………………………………11分

∴橢圓C的左特征點為．………………………………………………………12分