Question

已知正整數列{a_n}的前n項和為S_n,且對任意的正整數n滿足2=a_n+1.
(1)求數列{a_n}的通項公式;
(2)設b_n=,求數列{b_n}的前n項和B_n.

Answer 1

(1) 數列{a_n}是首項為1,公差為2的等差數列.
∴a_n=1+(n-1)×2=2n-1.
(2) (1-)=-.

(1)∵對任意的正整數n,2=a_n+1                        ①
恒成立,
當n=1時,2=a₁+1,即(-1)²=0,
∴a₁=1.
當n≥2時,有2=a_n-1+1.                            ②
①²-②²得4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1,
即(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1-2)=0.∵a_n>0,∴a_n+a_n-1>0.∴a_n-a_n-1=2.
∴數列{a_n}是首項為1,公差為2的等差數列.
∴a_n=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)∵a_n+1=2n+1,
∴b_n==(-).
∴B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=(1-)+(-)+(-)+…+(-)
=(1-)=-.