Question

設函數f（x）的定義域為D，若滿足：①f（x）在D內是單調函數； ②存在[a，b]⊆D（b＞a），使得f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，那么就稱y=f（x）是定義域為D的“成功函數”．若函數g(x)=loga(a2x+t)(a＞0，a≠1)是定義域為R的“成功函數”，則t的取值范圍為（　　）

• A．(-∞，

  1

  4

  )
• B．(

  1

  4

  ，1)
• C．(0，

  1

  4

  )
• D．(0，

  1

  4

  ]

Answer 1

分析：根據“成功函數”的概念利用對數函數的性質和一元二次方程根的判別式求解．

解答：解答：解：依題意，函數g（x）=log_a（a^2x+t）（a＞0，a≠1）在定義域上為單調遞增函數，且t≥0，
而t=0時，g（x）=2x不滿足條件②，
∴t＞0．
設存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域為[m，n]，
∴

loga(a2m+t)=m loga(a2n+t)=n

，
即

a2m+t=am a2n+t=an

，
∴m，n是方程（a^x）²-a^x+t=0的兩個不等的實根，
設y=a^x，則y＞0，
∴方程等價為y²-y+t=0的有兩個不等的正實根，
即

△=1-4t＞0 y1y2=t＞0 y1+y2=1＞0

，
∴

t＜ 1 4 t＞0

，解得0＜t＜

1

4

，
故選C．

點評：本題主要考查對數的基本運算，準確把握“成功函數”的概念，合理運用對數函數的性質和一元二次方程根的判別式是解決本題的關鍵．綜合性較強．