Question

（2012•馬鞍山二模）如圖，在正三棱柱ABC一DEF中，AB=2，AD=1，P是CF的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)A、B、P三點(diǎn)的平面交FD于M，交EF于N．
（I）求證：MN∥平面CDE：
（II）當(dāng)平面PAB⊥平面CDE時(shí)，求三梭臺(tái)MNF-ABC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)，平面與平面平行的性質(zhì)定理，可得AB∥MN，結(jié)合DE∥AB得到DE∥MN，最后用線面平行的判定定理，可證出MN∥平面CDE．
（II）取AB中點(diǎn)G、DE中點(diǎn)H，連接PG、CH，利用線面平行的性質(zhì)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，可得PG⊥CH，再由平面幾何知識(shí)得Rt△PCG∽R(shí)t△HGC，算出PF=2，進(jìn)而得到FM=

4

3

且△PMN是等邊三角形，最后利用兩個(gè)三棱錐體積相減即可得到三梭臺(tái)MNF-ABC的體積．

解答：解：（Ⅰ）∵正三棱柱ABC一DEF中，平面ABC∥平面DEF，平面PAB∩平面DEF=MN，平面PAB∩平面ABC=AB，
所以AB∥MN；…（2分）
又∵平行四邊形ABED中，DE∥AB，∴DE∥MN，； …（4分）
∵M(jìn)N?平面CDE，DE⊆平面CDE，
∴MN∥平面CDE…（6分）
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)G、DE中點(diǎn)H，連接PG、CH，則
由GH∥PC知P、C、G、H在同一平面上，并且由PA=PB知PG⊥AB，
類似于（Ⅰ）的證明方法可得AB平行于平面PAB與平面CDE的交線，
因此PG也垂直于該交線，
由此可得，若平面PAB⊥平面CDE，則PG⊥平面CDE，可得PG⊥CH
根據(jù)平面幾何知識(shí)，得Rt△PCG∽R(shí)t△HGC，所以

PC

CG

=

PC

GH

…（8分）
設(shè)PF=t，則

1+t

3

=

3

1

，可得t=2…（10分）
從而

MF

AC

=

PF

PC

，得到MF=

4

3

∴V_NMF-ABC=V_P-ABC-V_P-MNF=

1

3

×

3

4

[2²×3-（

4

3

）²×2]=

19 3

27

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題在一個(gè)正三棱柱中探索面面垂直問(wèn)題，并求截出三棱臺(tái)的體積，著重考查了線面位置關(guān)系、臺(tái)體體積求法等有關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生空間想象能力，屬于中等題．