Question

已知橢圓 的離心率為 ，且過點

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；
(Ⅱ)四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，若 ．
(i)求 的最值：
（i i）求證：四邊形ABCD的面積為定值．

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)（ⅰ）2， （i i）見解析

解析試題分析：(Ⅰ) 由離心率為  知= ，將點  代入橢圓方程，又可得到關于a，b的方程，結合即可求出的值，得到橢圓方程；(Ⅱ)（ⅰ）設出點A，B的坐標及直線AB的方程，將直線AB的方程代入橢圓方程，化為關于x的二次方程，利用點A、B的橫坐標分別為該二次方程的解，則判別式大于等于0，且利用韋達定理，將橫坐標之和和之積用參數表示出來，利用直線的斜率公式將直線OA、OB的斜率用參數表示出來，在利用條件找出參數的關系式，利用向量數量積坐標公式將用參數表示出來，將其化為函數的最值問題，利用函數求最值的方法的最值；（i i）由橢圓的對稱性知四邊形ABCD為平行四邊形，故四邊形ABCD的面積化為4個△OAB，利用點到直線距離公式距離公式和弦長公式求出△AOB為定值，就證明了四邊形ABCD的面積為定值．
試題解析：(Ⅰ)由題意又
解得，故橢圓的標準方程為      （4分）
(Ⅱ)設直線AB的方程為
聯立，得
①


又===，
        (8分)
（ⅰ）

當（此時滿足①式），即直線AB平行于軸時，
的最小值為－2．
又直線AB的斜率不存在時，，∴的最大值為2．
（ⅱ）設原點到直線AB的距離為，則
==
====，
∴S_{四邊形ABCD} = 4S_ΔAOB = ，
即四邊形ABCD的面積為定值．               ．（12分）
考點：橢圓的標準方程與幾何性質，直線與橢圓的位置關系，平面向量的數量積，設而不求思想，運算求解能力