Question

用白鐵皮做一個平底、圓錐形蓋的圓柱形糧囤，糧囤容積為（不含錐形蓋內空間），蓋子的母線與底面圓半徑的夾角為，設糧囤的底面圓半徑為R，需用白鐵皮的面積記為（不計接頭等）。
（1）將表示為R的函數；
（2）求的最小值及對應的糧囤的總高度。（含圓錐頂蓋）

Answer 1

（1），（2），對應糧囤的總高度為.

試題分析：（1）立體幾何應用題，實際考查立體幾何的側面積. 根據圓錐及圓柱側面積公式得：（>0），（2）對復雜函數，利用導數求函數最值.由，令，得，當時，，當時，所以當時，取得極小值也是最小值，且，此時圓柱的高為，圓錐蓋的高為，所以糧囤的總高度為.
試題解析：（1）
（>0）    7分
（2），令，得    10分
當時，，當時，所以當時，取得極小值也是最小值，且，    13分
此時圓柱的高為，圓錐蓋的高為，所以糧囤的總高度為    15分
答：（1）；（2），對應糧囤的總高度為。    16分