Question

已知數列具有性質：①為整數；②對于任意的正整數，當為偶數時，
；當為奇數時，.
（1）若為偶數，且成等差數列，求的值；
（2）設(且N)，數列的前項和為，求證：；
（3）若為正整數，求證：當(N)時，都有.

Answer 1

（1）是奇數，則，， 若是偶數，則，，
(2)根據數列的求和公式來證明不等式
(3)要證明對于當(N)時，都有.，則要對于其通項公式分情況來得到其通項公式的表達式證明。

試題分析：⑴設，，則：，
分兩種情況： 是奇數，則，，
若是偶數，則，，
⑵當時，

∴
⑶∵，∴，∴
由定義可知：  ∴
∴
∴
∵，∴，
綜上可知：當時，都有
點評：本試題主要是考查了等差數列和數列的求和，以及數列與不等式的證明，屬于中檔題。