Question

定義一種運算^*，滿足n^*k=n•λ^k-1（n、k∈N⁺，λ是非零實常數）．
（1）對任意給定的k，設an=n*k(n=1，2，3，…)，求證：數列{a_n}是等差數列，并求k=2時，該數列的前10項和；
（2）對任意給定的n，設bk=n*k(k=1，2，3，…)，求證：數列{b_k}是等比數列，并求出此時該數列的前10項和；
（3）設cn=n*n(n=1，2，3，…)，試求數列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）利用新定義，結合等差數列的定義可知結論成立，利用等差數列的求和公式，可求數列的前10項和；
（2）利用新定義，結合等比數列的定義可知結論成立，利用等比數列的求和公式，可求數列的前10項和；
（3）確定數列的通項，再利用錯位相減法可求得結論．

解答：（1）證明：an=n*k=n•λk-1，an+1=(n+1)•λk-1，an+1-an=λk-1（k為任意給定的），
所以數列{a_n}是等差數列．
k=2時，公差為a_n+1-a_n=λ，首項為λ，前10項和S10=10λ+

10×9

2

λ=55λ．
（2）證明：bk=n•λk-1，bk+1=n•λk，

bk+1

bk

=λ，所以數列{b_n}是等比數列．
當λ=1時，S₁₀=10n；當λ≠1時，首項為n，S10=

n(1-λ10)

1-λ

．
（3）解：cn=n•λn-1，當λ=1時，c_n=n，Sn=

n(n+1)

2

；
當λ≠1時，S_n=λ⁰+2λ+…+n•λ^n-1
∴λS_n=λ+2λ²+…+（n-1）•λ^n-1+n•λⁿ
兩式相減可得（1-λ）S_n=1+λ+λ²+…+λ^n-1-n•λⁿ=

1-λn

1-λ

-n•λⁿ，
∴S_n=

1-λn

(1-λ)2

-

nλn

1-λ

．

點評：本題考查新定義，考查等差數列與等比數列的判定，考查數列的求和，正確理解新定義是關鍵．