Question

 設f（x）是定義在[0，1]上的函數，若存在x*∈（0，1），使得f（x）在[0， x*]上單調遞增，在[x*，1]上單調遞減，則稱f（x）為[0，1]上的單峰函數，x*為峰點，包含峰點的區間為含峰區間．對任意的[0，l]上的單峰函數f（x），下面研究縮短其含峰區間長度的方法.

   （1）證明：對任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），則（0，x₂）為含峰區間；若f（x₁）≤f（x₂），則（x*，1）為含峰區間； 

   （2）對給定的r（0＜r＜0.5＝，證明：存在x₁，x₂∈（0，1），滿足x₂－x₁≥2r，使得由

       （I）所確定的含峰區間的長度不大于0.5＋r； 

   （3）選取x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，由（I）可確定含峰區間為（0，x₂）或（x₁，1），在所得的含峰區間內選取x₃，由x₃與x₁或x₃與x₂類似地可確定一個新的含峰區間．在第一次確定的含峰區間為（0，x₂）的情況下，試確定x₁，x₂，x₃的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02，且使得新的含峰區間的長度縮短到0.34.（區間長度等于區間的右端點與左端點之差）

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）證明：設x*為f（x） 的峰點，則由單峰函數定義可知，f（x）在[0， x*]上單調遞增，在[x*，1]上單調遞減． 

當f（x₁）≥f（x₂）時，假設x*（0，x₂），則x₁<x₂<x*，從而f（x*）≥f（x₂） >f（x₁），這與f（x₁）≥f（x₂）矛盾，所以x*∈（0，x₂），即（0，x₂）是含峰區間. 

當f（x₁）≤f（x₂）時，假設x*（ x₂，1），則x*<≤x₁<x₂，從而f（x*）≥f（x₁）>f（x₂）， 

這與f（x₁）≤f（x₂）矛盾，所以x*∈（x₁，1），即（x₁，1）是含峰區間.…………4分 

   （2）證明：由（I）的結論可知： 

當f（x₁）≥f（x₂）時，含峰區間的長度為l₁＝x₂；當f（x₁）≤f（x₂）時，含峰區間的長度為l₂=1－x₁； 

對于上述兩種情況，由題意, 得 

      　　　                         ① …………………………6分 

由①得1＋x₂－x₁≤1+2r，即x₁－x₁≤2r. 

又因為x₂－x₁≥2r，所以x₂－x₁=2r，              ② 

將②代入①得x₁≤0.5－r， x₂≥0.5－r，          ③ …………………………8分 

由①和③解得 x₁＝0.5－r， x₂＝0.5＋r． 

所以這時含峰區間的長度l₁＝l₁＝0.5＋r，即存在x₁，x₂使得所確定的含峰區間的長度不大于0.5＋r。…………………………10分 

    （3）解：對先選擇的x₁；x₂，x₁<x₂，由（II）可知x₁＋x₂＝l，           ④  

在第一次確定的含峰區間為（0， x₂）的情況下，x₃的取值應滿足x₃＋x₁＝x₂， ⑤ 

由④與⑤可得，當x₁>x₃時，含峰區間的長度為x₁。 

由條件x₁－x₃≥0.02，得x₁－（1－2x₁）≥0.02，從而x₁≥0.34。 

因此，為了將含峰區間的長度縮短到0.34，只要取x₁＝0.34，x₂＝0.66，x₃=0.32．

………………14分