Question

如圖，直線L過點P（0，1），夾在兩已知直線l₁：2x+y-8=0和l₂：x-3y+10=0之間的線段AB恰被點P平分．
（1）求直線l的方程；
（2）設點D（0，m），且AD∥l₁，求：△ABD的面積．

Answer 1

分析：（1）設出直線l₁上的動點B的坐標，由中點坐標公式求出A的坐標，代入直線l₂的方程求得a的值；
（2）利用直線平行斜率相等求出m的值，得到D的坐標，由兩點間的距離公式求出AD的長度，由點到直線的距離公式求出AD邊上的高，代入面積公式得答案．

解答：解：（1）∵點B在直線l₁：2x+y-8=0上，可設B（a，8-2a），
又P（0，1）是AB的中點，
∴A（-a，2a-6），
∵點A在直線l₂：x-3y+10=0上，∴-a-3（2a-6）+10=0，
解得a=4，即B（4，0）．
故直線l的方程是x+4y-4=0；
（2）由（1）知A（-4，2），
又AD∥l₁，則kAD=

2-m

-4-0

=-2，
∴m=-6，則D（0，-6）．
點A到直線l₁的距離d=

|-4×2+2×1-8|

22+12

=

14 5

5

，
|AD|=

(-4-0)2+(2+6)2

=4

5

，
∴S△ABD=

1

2

|AD|•d=

1

2

•4

5

•

14

5

=28．

點評：本題考查了點到直線的距離公式，考查了兩條直線的交點問題，訓練了直線平行和斜率的關系．