Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓的中心在坐標原點，兩個焦點分別為，，點在橢圓 上，過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線分別為，且與交于點.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 是否存在滿足的點? 若存在，指出這樣的點有幾個（不必求出點的坐標）; 若不存在，說明理由.

Answer 1

(1)  (2) 滿足條件的點有兩個

解析試題分析：(1) 解法1：設橢圓的方程為,
依題意:    解得:   
∴ 橢圓的方程為.
解法2：設橢圓的方程為，
根據橢圓的定義得，即， 
∵，  ∴.  
∴ 橢圓的方程為.
(2)解法1：設點,，則，
，
∵三點共線,
∴.  
∴,                  
化簡得：. ① 
由,即得. 
∴拋物線在點處的切線的方程為，即. ②
同理，拋物線在點處的切線的方程為 .    ③        
設點，由②③得：，
而，則 .
代入②得 ，   
則，代入 ① 得 ，即點的軌跡方程為.
若 ，則點在橢圓上，而點又在直線上，
∵直線經過橢圓內一點,
∴直線與橢圓交于兩點.
∴滿足條件 的點有兩個.
解法2：設點,，，
由,即得. 
∴拋物線在點處的切線的方程為，
即. 
∵