Question

（本小題滿分12分）
已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點．
（Ⅰ）證明：拋物線在點處的切線與平行；
（Ⅱ）是否存在實數使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析．
（Ⅱ）存在，使．

20．解法一：（Ⅰ）如圖，設，，把代入得，
由韋達定理得，，

，點的坐標為．
設拋物線在點處的切線的方程為，
將代入上式得，
直線與拋物線相切，
，．
即．
（Ⅱ）假設存在實數，使，則，又是的中點，
．
由（Ⅰ）知
．
軸，．
又
．
，解得．
即存在，使．
解法二：（Ⅰ）如圖，設，把代入得
．由韋達定理得．
，點的坐標為．，，
拋物線在點處的切線的斜率為，．
（Ⅱ）假設存在實數，使．
由（Ⅰ）知，則






，
，，解得．
即存在，使．