Question

設拋物線C：x²=2py（p＞0），F為焦點，拋物線C上一點P（m，3）到焦點的距離是4，拋物線C的準線l與y軸的交點為H
（1）求拋物線C的方程；
（2）設M是拋物線C上一點，E（0，4），延長ME、MF分別交拋物線C于點A、B，若A、B、H三點共線，求點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的定義，結合P到焦點的距離為4建立關于p的方程，解出p=2即得拋物線C方程；
（2）設M（t，

t2

4

），由點斜式可寫出直線MF、ME的方程，分別與拋物線方程聯立可解出點B、點A的坐標，根據A、B、H三點共線，得k_AH=k_BH，由此可解出t值；

解答：解：（1）由題意得拋物線C的準線l方程為：y=-

p

2

，
因為拋物線C上的點P（m，3）到焦點的距離是4，得3-（-

p

2

）=4，解得P=2
所以拋物線方程為：x²=4y．
（2）設M（t，

t2

4

），又直線過點F（0，1），則直線MF方程為y-1=

t2-4

4t

x，
過點E（0，4）直線ME方程為y-4=

t2-16

4t

x，
由

y-1= t2-4 4t x x2=4y

，得B（-

4

t

，

4

t2

），
由

y-4= t2-16 4t x x2=4y

，得A（-

16

t

，

64

t2

），
則k_AH=

64 t2 +1

- 16 t

=

64+t2

-16t

，k_BH=

- 4 t2 +1

- 4 t

=

4+t2

-4t

，
∵A、B、H三點共線，∴k_AH=k_BH，即

64+t2

-16t

=

4+t2

-4t

解得t=±4，
∴M點的坐標為（±4，4）．

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質，考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，屬于難題．