Question

已知正項數列的前項和，．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）定理：若函數在區間D上是凹函數，且存在，則當時，總有．請根據上述定理，且已知函數是上的凹函數，判斷與的大小；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

（Ⅰ）（）．                         
（Ⅱ）．                                              
（Ⅲ）由（Ⅱ），得．

（Ⅰ）時，或．
由于是正項數列，所以．
當時，
，                               
整理，得．
由于是正項數列，∴．
∴數列是以1為首項，1為公差的等差數列．      
從而，當時也滿足．
∴（）．                         
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
對于上的凹函數，有．
根據定理，得．　　　　　　　　　　　
整理，得．
令，得．          
∴，即．
∴．                                              
（Ⅲ）由（Ⅱ），得．