Question

（本小題共15分）如圖直角中，，，，點(diǎn)在邊上，橢圓以為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)．現(xiàn)以線段所在直線為軸，其中中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．

（1）求橢圓的方程；

（2）為橢圓內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn).求的最值.

（3）設(shè)橢圓分別與正半軸交于兩點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

（本小題共15分）

解：（1）設(shè)橢圓的方程為

由題意可得：

又

根據(jù)勾股定理可得：在中，

，

橢圓的方程為  …………………………5分

（2）根據(jù)（1）可知：為橢圓的焦點(diǎn)，則

而，即

最大值為；最小值為.  …………………………10分

（3）由（1）可知

將直線方程代入橢圓方程

關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：

點(diǎn)到直線的距離為

同理可得：點(diǎn)到直線的距離為

所以，四邊形的面積

即

   

   

    .

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)成立.

.  …………………………15分