Question

（本小題滿分13分）

已知雙曲線的右焦點為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點，點的坐標是．

（I）證明，為常數；

（II）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程．

 

Answer 1

【答案】

（I）為常數

（II）點的軌跡方程是

【解析】解：由條件知，設，．

（I）當與軸垂直時，可設點的坐標分別為，，

此時．

當不與軸垂直時，設直線的方程是．

代入，有．

則是上述方程的兩個實根，所以，，

于是

．

綜上所述，為常數．

（II）解法一：設，則，，

，，由得：

即

于是的中點坐標為．

當不與軸垂直時，，即．

又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得

，即．

將代入上式，化簡得．

當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．

所以點的軌跡方程是．

解法二：同解法一得……………………………………①

當不與軸垂直時，由（I） 有．…………………②

．………………………③

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

當時，，由④⑤得，，將其代入⑤有

．整理得．

當時，點的坐標為，滿足上述方程．

當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．

故點的軌跡方程是．