Question

拋物線有光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y²=2px(p＞0).一光源在點M(,4)處，由其發出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：2x-4y-17=0上的點N，再折射后又射回點M(如圖所示).

（1）設P、Q兩點坐標分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，證明y₁·y₂=-p²；

（2）求拋物線的方程；

（3）試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

思路分析：本題是一道與物理中的光學知識相結合的綜合性題目.

證明:由拋物線的光學性質及題意，知光線PQ必過拋物線的焦點F(，0)，設直線PQ的方程為y=k(),                          ①

由①式,得x=.

將其代入拋物線方程y²=2px中，整理得y²--p²=0.由韋達定理，y₁y₂=-p².

當直線PQ的斜率角為90°時，將x=代入拋物線方程，得y=±p,同樣得到y₁·y₂=-p².

(2)解：因為光線QN經直線l反射后又射向M點，所以直線MN與直線QN關于直線l對稱.設點M(，4)關于l的對稱點為M′(x′,y′)，

則解得

直線QN的方程為y=-1,Q點的縱坐標y₂=-1.

由題設P點的縱坐標y₁=4，且由(1)知：y₁·y₂=-p²,則4·(-1)=-p²,得p=2.

故所求拋物線方程為y²=4x.

(3)解：將y=4代入y²=4x,得x=4.故P點坐標為(4，4).將y=-1代入直線l的方程為2x-4y-17=0.得x=.故N點坐標為(，-1).由P、N兩點坐標得直線PN的方程為2x+y-12=0.

設M點關于直線NP的對稱點為M₁(x₁,y₁)，

則

解得

又M₁(,-1)的坐標是拋物線方程y²=4x的解，

故拋物線上存在一點(，-1)與點M關于直線PN對稱.