Question

（本小題滿分12分）
如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，.

（I）求證：平面平面；
（II）求二面角的余弦值．

Answer 1

（I）證明：見解析
（II）二面角的余弦值為 

本試題主要考查了面面垂直和二面角的求解的綜合運用。
（1）根據已知條件找到線面垂直，然后利用面面垂直的判定定理得到其證明。
（2）合理的建立空間直角坐標系，然后表示出點的坐標和向量的坐標，借助于平面的法向量，得到向量的夾角，從而得到二面角的平面角的大小。
（I）證明：取的中點，連接

為等腰直角三角形
……………………………………2分
又
是等邊三角形
，又
，…………………………4分
，又
平面平面;……………………………………6分
（II）以中點為坐標原點，以所在直線為軸,所在直線為軸，建立空間直角坐標系如圖所示，

則
 ……………………8分
設平面的法向量
，即，解得，
   
設平面的法向量
，即，解得，
…………………………………………………………10分

所以二面角的余弦值為  …………………………12分