Question

已知四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G，H分別是CE，CF的中點．

(1)求證：平面AEF∥平面BDGH

(2)若平面BDGH與平面ABCD所成的角為60°，求直線CF與平面BDGH所成的角的正弦值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)G，H分別為CE，CF的中點，

所以EF∥GH，

連接AC與BD交于O，因為四邊形ABCD是菱形，所以O是AC的中點，

連接OG，OG是三角形ACE的中位線，OG∥AE，

又EF∩AE＝E，GH∩OG＝G，則平面AEF∥平面BDGH，

(2)因為BF⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，

所以BF⊥平面ABCD，

取EF的中點N，連接ON，則ON∥BF，∴ON⊥平面ABCD，

建立空間直角坐標系如圖所示，設AB＝2，BF＝t，

則B(1,0,0)，C(0，，0)，F(1,0，t)，

H，＝(1,0,0)，＝，

設平面BDGH的法向量為n1＝(x，y，z)，

取n1＝(0，－t，)，

平面ABCD的法向量n2＝(0,0,1)，

|cos〈n1，n2〉|＝＝，所以t2＝9，t＝3.

所以＝(1，－，3)，設直線CF與平面BDGH所成的角為θ，

sin θ＝|cos〈，n1〉|＝＝.