Question

（理科）如圖的多面體是底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，經平面AEFG所截后得到的圖形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

（文科）如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF．

Answer 1

分析：（理科）（I）由題在△BAD中，通過計算得到AD⊥BD，再利用條件線面垂直得到線線垂直，進而得到要證的線面垂直；
（II） 由題意及圖形特點建立如圖的空間直角坐標系，利用平面的法向量的夾角與二面角的大小之間的關系求出二面角的大小．
（文科）（I）由題意及平面ABCD⊥平面ABEF且CB⊥AB，利用面面垂直的性質定理得到線面垂直，在利用圓的直徑所對的圓周角為直角的性質得到線線垂直，進而利用線面垂直的判定定理得出要證明的結論；
（II）由題意及條件借助線線平行得到線面平行，再利用線面平行的性質定理的得到所證．

解答：（理科）解：（Ⅰ）證明：在△BAD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，
由余弦定理得，BD=

3

∴AB²=AD²+BD²．
∴AD⊥BD
又GD⊥平面ABCD
∴GD⊥BD，
GD∩AD=D，
∴BD⊥平面ADG，

（Ⅱ）以D為坐標原點，OA為x軸，OB為y軸，OG為z軸建立空間直角坐標系D-xyz
則有A（1，0，0），B（0，

3

，0），G（0，0，1），E（0，

3

，2）

AG

=(-1，0，1)，

AE

=(-1，

3

，2)
設平面AEFG法向量為

m

=（x，y，z）
則

m • AG =-x+z=0 m • AE =-x+ 3 y+2z=0

，
取

m

=(1，-

3

3

，1)，
平面ABCD的一個法向量

n

=

DG

=(0，0，1)，
設面ABFG與面ABCD所成銳二面角為θ，
則cosθ=

| m • n |

| m |•| n|

=

21

7

．

（文科）解：（Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，
又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．
（Ⅱ）設DF的中點為N，則MN

∥ .

.

1

2

CD，又AO

∥ .

.

1

2

CD，則MN

∥ .

.

AO，MNAO為平行四邊形，
∴OM∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF，∴OM∥平面DAF．

點評：（理科）此題重點考查了線面垂直的判定定理及性質定理等知識，還考查了利用空間向量的知識求解二面角的大小的知識．
（文科）此題重點考查了面賣弄垂直的判定定理及線面垂直的判定定理，還考查了線面平行的判定定理及平行直線間的平行具有傳遞性．